A comienzos del siglo XX, se tenía conocimientos de varios fenómenos que no tenían explicación en términos de la física newtoniana. Ya se había descubierto que la energía electromagnética se intercambiaba con las paredes de un cuerpo en cantidades finitas, representada por la ecuación: E = h\nu, en donde E representa la Energía del paquete, h es la constante de Planck, y \nu es la frecuencia de la onda electromagnética.

Para esos físicos, esto era incomprensible: ¿cuál era la razón por la cual las energías que interactuaban en ese intercambio eran discretas, proporcionales a la frecuencia, y no una función continua de la frecuencia?.

Otra ecuación interesante era aquella que se había logrado a través de la teoría especial de la relatividad, la famosa ecuación de Einstein: E=m{ c }^{ 2 }.

En donde nuevamente E es la Energía, m es la masa de la partícula, y c es la velocidad de la luz.

Recordando también que la cantidad de movimiento puede expresarse por la ecuación p=mv, en donde p es la cantidad de movimiento de la partícula, m es su masa y v su velocidad. Podemos combinar estas dos ecuaciones, recordando que v=c para el caso de la luz.

Entonces: E = mc \cdot c = p\cdot c . Recordando que c = \lambda \cdot \nu, se tiene fácilmente que:

E = p \cdot c = {p} \cdot {(\lambda \cdot \nu)}.

Tomado la ecuación de los cuantos de luz y combinándola con esta otra, llegamos a la famosa ecuación de De Broglie:

E= p\lambda\nu = h\nu

 =>     \lambda = \cfrac{h}{p}

Recordemos también la ecuación de ondas:

{\nabla}^{2}\psi -\cfrac{ 1 }{{v}^{2}} \cfrac {{\partial}^{2} \psi}{{\partial}{t}^{2}}=0

Ahora, esta ecuación puede ser resuelta por separación de variables usando la siguiente expresión:

\psi(r,t) = {e}^{-i\omega t}\varphi (r)

y de esta manera, podemos encontrar la ecuación de ondas independiente del tiempo:

{\nabla}^{2}\varphi (r)+\cfrac {{\omega}^{2}} {{v}^{2}}\varphi(r) = 0

Por otro lado, la energía total del sistema puede expresarse por:

E = \cfrac{{p}^{2}}{{2m}} + V(r)

De esta última ecuación podemos despejar {p}^{2}:

{p}^{2} = 2m \cdot [E-V(r)]

También, se debe recordar que la expresión:

\cfrac {\omega} {v} = \cfrac {2 \pi}{\lambda}

Esta última ecuación por De Broglie es también equivalente a:

\cfrac {2\pi \cdot p}{h}.

Y utilizando la clásica definición de la constante de Planck (\hslash):

\hslash = \cfrac{h}{2\pi}       =>      \cfrac{\omega}{v} = \cfrac{p}{\hslash}

Reemplazando esta última expresión en la ecuación de ondas, tenemos que:

{\nabla}^{2}\varphi (r)+\cfrac{{p}^{2}}{{\hslash}^{2}}\varphi(r) = 0

Ya estamos casi listos. Multiplicando esta última ecuación por {\hslash}^{2}, y colocando la expresión obtenida para {p}^{2} en la ecuación de energía total, se tiene que:

{\hslash}^{2}{\nabla}^{2}\varphi (r)+2m (E-V(r)) \varphi(r) = 0

Dividiendo por  2m y ordenando términos tenemos finalmente: 

- \cfrac {{\hslash}^{2}}{2m} {\nabla}^{2}\varphi (r) + V(r) \varphi(r) = E \varphi(r)

Que es la ecuación de Schrödinger estacionaria.

Ahora, notar que: 

\cfrac {\partial \psi}{\partial t} = -i \omega \psi = -i \cfrac {{e}^{-i\omega t}}{\hslash}E\varphi(r)   =>   {e}^{-i \omega t} E\varphi(r) = i \hslash \cfrac {\partial \psi}{\partial t}.

Por lo tanto, multiplicando la ecuación de onda estacionaria por {e}^{-i \omega t}, y recordando que \psi(r,t) = {e}^{-i\omega t} \varphi(r), se tiene finalmente la ecuación de ondas general de Schrödinger:

- \cfrac {{\hslash}^{2}}{2m} {\nabla}^{2}\psi + V(r) \psi = i \hslash \cfrac {\partial \psi}{\partial t}

La función \psi(r,t), gracias a Born, se asociaría a la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una configuración cuántica dada. Esta interpretación daría origen a la comprensión del comportamiento onda-partícula de la materia.

Al estudiar este comportamiento nos podemos dar cuenta que, en lo más íntimo de esa creación, se da el concepto de «incertidumbre». Esta incertidumbre intrínseca en el conocimiento del comportamiento último de la materia sigue siendo tema de debates respecto de que la produce. Esta incertidumbre sería imposible removerla para determinar con precisión el resultado de nuestras ecuaciones, teniendo que conformarnos con probabilidades. Pareciera que nos quisieran recordar que no podemos saberlo todo. Pero eso es motivo de otro artículo.